(Avertissement : ce blog est un blog militant, non seulement par son contenu mais aussi par son statut. J'ai toujours refusé de cautionner la logique de la marchandisation capitaliste, tout particulièrement à l'égard de cette escroquerie idéologique que constitue, à mes yeux, la notion de propriété intellectuelle. Aussi, les divers textes que j'ai rédigés et mis en ligne sont-ils, naturellement, libres de droits. Copiez-les, pillez-les, diffusez-les ! Soyons le plus nombreux possible à penser le plus possible !)

samedi 31 mars 2012

KANT, WITTGENSTEIN ET L'UNIVERS MATHEMATISE DE GALILEE.

Galilée écrit en 1623 que 
"la filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l'universo, ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola ; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto [la science est écrite dans cet immense livre qui demeure en permanence ouvert sous nos yeux et que j'appelle "l'univers", mais qu'on ne peut comprendre si, préalablement, on n'apprend la langue et l'alphabet dans lesquels ce livre est écrit. Il est écrit dans la langue des mathématiques et son alphabet est constitué de triangles, cercles et autres figures géométriques, moyens sans lesquels il est impossible pour un être humain d'en saisir le moindre mot ; sans cela on tourne vainement en rond dans un labyrinthe obscur]" (Galileo Galilei, Il Saggiatore, vi). 

D'où le problème : comment expliquer que, sans les mathématiques, sans "les triangles, les cercles et autres figures", l'univers demeurerait ce"labyrinthe obscur" dans lequel nous "tournerions en rond" ? Comment expliquer que ce "grand livre" que Galilée appelle "l'univers" soit écrit dans la "langue des mathématiques" ? En d'autres termes, comment expliquer que les mathématiques se prêtent avec autant de pertinence et de précision à l'étude scientifique de notre univers ?

On connaît les deux grands types de réponse dont la philosophie nous a gratifiés (cf. qu'apportent les Mathématiques aux Sciences ?). Pour les uns 
"il est dans la nature des philosophes de s’attacher à la connaissance qui peut leur dévoiler cette essence immuable, inaccessible aux vicissitudes de la génération et de la corruption. [Or] que nul n'entre ici s'il n'est géomètre [Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω]. [Car] il est une chose que tous ceux qui sont tant soit peu versés dans la géométrie ne nous contesteront pas, c'est que cette science a un objet entièrement différent de ce que prétendent les praticiens [...]. Car toute cette science n'est cultivée qu'en vue de la connaissance [...]. On la cultive pour connaître ce qui est toujours, et non ce qui à un moment donné naît et périt. [...] Elle est donc, mon brave ami, propre à tirer l'âme vers la vérité et à faire naître l'esprit philosophique " (Platon, République, 485b-526c-527 a-b)

Pour les autres 
"la géométrie, l’art par lequel nous fixons les proportions des figures, quoiqu’elle l’emporte de beaucoup, aussi bien en universalité qu’en exactitude, sur les jugements vagues des sens et de l’ima­gination, n’atteint pourtant jamais une parfaite précision et une parfaite exactitude. Ses premiers principes sont encore ti­rés de l’apparence générale des objets, et cette apparence ne saurait jamais nous offrir aucune sécurité quand nous exami­nons la prodigieuse petitesse dont la nature est susceptible. Nos idées semblent donner une parfaite assurance que deux lignes droites ne peuvent avoir un segment commun ; mais si nous considérons ces idées, nous trouverons qu’elles supposent toujours une inclination sensible des deux lignes, et que, si l’angle qu’elles forment est extrêmement petit, nous n’avons aucun critère d’une ligne droite assez précis pour nous assurer de la vérité de cette proposition. Il en est de même pour la plupart des décisions premières des mathématiques" (Hume, Traité de la Nature Humaine, I, iii, 1). 

Pour les uns les mathématiques conviennent parfaitement à l'étude scientifique parce que toute étude de ce genre porte sur des "objets" intelligibles purs et que, précisément, les mathématiques sont la meilleure propédeutique à cette étude. Pour les autres, la compatibilité des mathématiques avec les sciences d'une part est assurée par leur commune origine empirique, d'autre part, et, justement en raison de cette origine, cette compatibilité reste précaire et révocable. Or, il est manifeste que, à la lumière de l'histoire des sciences, les uns et les autres ont tort. Les premiers parce qu'ils méconnaissent le rôle de l'expérience dans la science moderne, laquelle s'attache à connaître non ce qui est éternel et immuable mais au contraire ce qui est expérimentalement réfutable (falsifiable dira Popper). Les seconds parce qu'ils semblent ne pas se rendre compte que c'est par définition et non par induction faisant suite à un certain nombre d'expériences constantes que les mathématiciens ont décidé de dire que des parallèles ne se rencontrent jamais.

Kant fut le premier à concilier, d'une certaine manière, ces deux positions, à première vue simultanément intenables, en écrivant en 1786 que 
"une science proprement dite [...] exige une partie pure sur laquelle se fonde la partie empirique et qui repose sur la connaissance a priori des choses de la nature" (Kant, Pre­miers Principes Métaphysiques de la Science de la Nature, AK IV, 470). 

Les rationalistes (Platon, e.g.) ont bien vu que la science, quelque contenu qu'on lui donne, ne peut pas, comme le prétendent les empiristes, dériver toute entière de l'expérience sensible au même titre que la connaissance vulgaire. Aussi, toute science comporte-t-elle, nous dit Kant, une partie pure. Les empiristes (Hume, e.g.), quant à eux, ont bien compris que les mathématiques et les lois scientifiques, contrairement à ce que veulent faire accroire les rationalistes, ne peuvent être complétement déconnectées de nos expériences les plus communes. Aussi, toute science sera-t-elle dotée, précise Kant, d'une partie empirique. Oui mais Kant ne se contente pas de donner, comme le ferait un assureur avisé (ou timoré), cinquante pour cent des torts à chacune des parties. Il ajoute tout de même que la partie pure est la partie sur laquelle repose et se fonde la partie empirique. Concession aux rationalistes ? Pas vraiment puisque, dans le même temps, il remarque que 
 "si notre connais­sance commence avec l’expérience, elle ne dérive pas toute de l’expé­rience. [Car] des observa­tions faites au hasard et sans plan tracé d’avance ne se rassemblent pas en une loi nécessaire. [Or] il se pourrait que notre connaissance fût composée de ce que nous recevons par des impres­sions sensibles, et de ce que notre propre faculté de connaître tire d’elle-même" (Kant, Cri­tique de la Raison Pure, AK III, 10). 

Bref, Kant entend dissocier deux problèmes que tout à la fois les empiristes et les rationalistes semblent avoir confondus : celui de l'origine de la science (toute notre connaissance, quelle qu'elle soit, en particulier la connaissance scientifique, commence avec l'expérience) et celui du fondement de la science (toute notre connaissance, en particulier la connaissance scientifique, ne peut pas tirer sa justification de l'expérience). Kant insiste lourdement sur une prétention de la connaissance scientifique que le scepticisme, notamment dans sa version humienne, a tenté, sans succès de discréditer : les lois scientifiques sont nécessaires. Nécessaires comme l'affirme Platon, et non contingentes comme le prétend Hume, d'une certitude apodictique et non simplement probables comme le martellent les sceptiques. D'où la précession qu'établit Kant, dans un premier temps de la connaissance a priori sur la connaissance a posteriori : "ainsi [...] il se pourrait bien que notre connaissance expérimentale elle-même fût un composé de ce que nous recevons par des impressions sensibles, et de ce que notre propre faculté de connaître tire d’elle-même, n’étant qu’excitée par ces impressions sensibles. [...] Cette espèce de connaissance est dite a priori, et on la distingue de la connaissance empirique dont les sources sont a posteriori, c’est-à-dire dans l’expérience"(Kant, Critique de la Raison Pure, AK III, 27) et, dans un second temps, de la connaissance pure sur la connaissance a priori : "parmi les connaissances a priori, celles-là s'appellent pures auxquelles rien d'empirique n'est mêlé. Ainsi, par exemple, cette proposition : tout changement a une cause, est une proposition a priori mais non pas pure parce que le changement est un concept qui ne peut venir de l'expérience"(Kant, Critique de la Raison Pure, AK III, 28).

Ce que Kant appelle "la partie pure", ne sera donc rien d'autre que les conditions les plus générales et les plus abstraites d'une expérimentation scientifique possible, conditions qui, loin de dériver des expériences ou observations passées, comme le croient les empiristes, s'imposent à elles au contraire, mais pas du tout à la manière dont les rationalistes l'imaginent. Pour eux, en effet, la connaissance pure, "absolument a priori", dans le meilleur des cas, s'imposent aux impressions sensibles comme un modèle s'impose à des imitations très imparfaites (Platon), et, dans le pire des cas, s'imposent aux impressions sensibles comme le vrai s'impose au faux, en se substituant à des illusions qui n'ont même pas l'excuse de lui ressembler (Descartes). Chez Kant, en revanche, la partie pure va s'imposer à la partie empirique dans le sens où celle-là va constituer l'ensemble des conditions de possibilité de celle-ci, autrement dit, à la manière dont le possible s'impose, a priori, au réel. On voit que la position kantienne assume un des présupposés importants de la métaphysique leibnizienne : le possible précède nécessairement le réel, le réel dérive du possible. Et, pour Kant, comme pour Leibniz, le possible ressortit à la forme comme le réel à la matière. De sorte que les conditions absolument fondamentales de l'expérience possible, seront des conditions formelles : 
 "est réel ce qui s’accorde avec les conditions matérielles de l’expérience, à savoir la sensation. Ce qui s’ac­corde avec les conditions formelles de l’expérience n’est que possible. [Donc] ce qui est possible est déterminé a priori par l’enten­dement lui-même comme objet d’une expérience en général [...]. Les concepts a priori sont les conditions générales de l’expérience possible"(Kant, Critique de la Raison Pure, AK III, 185-190). 

Quelles sont ces conditions formelles de possibilité de toute expérience en générale ? Quelles sont les formes de pures de toute intuition sensible ? L'espace et le temps : toute expérience sensible nous est donnée, a priori, dans une spatialité et une temporalité.

Par suite, "la synthèse des espaces et des temps comme formes essentielles de toute intuition, est ce qui rend en même temps possible l'appréhension du phénomène [...], et ce que la mathématique démontre de la première [toute intuition] dans l'usage pur vaut aussi nécessairement de la seconde [l'appréhension du phénomène]"(Kant, Critique de la Raison Pure, IV, 151). Pour Kant, il est donc clair que la géométrie n'est que l'expression pure des conditions spatiales de possibilité de toute intuition à travers la synthèse des phases simultanées du divers par l'imagination (cf. Sentir et Percevoir : une Distinction Problématique), de même que l'arithmétique est celle des conditions temporelles de toute intuition à travers la synthèse des phases successives du divers dans l'imagination : "la géométrie prend pour fondement l'intuition pure de l'espace. L'arithmétique élabore elle-même ses concepts de nombre par addition successive des unités dans le temps"(Kant, Prolégomènes, §10). 

D'où l'on infère que, s'il doit y avoir, dans la connaissance scientifique, "une partie pure" qui décrive les conditions de possibilité d'un phénomène donné (ce que nous nommons "une hypothèse"), alors "une pure théorie de la nature concernant des choses déterminées de la nature n’est possible qu’au moyen de la mathématique" (Kant, Pre­miers Principes Métaphysiques de la Science de la Nature, AK IV, 470). C'est donc la mathématique, autrement dit l'expression pure des formes a priori de notre sensibilité qui va donner à la connaissance scientifique sa spécificité : "les mathématiques ajoutent au concept donné quelque chose qui n’y était pas contenu et, au moyen de jugements syn­thétiques a priori, nous avancer jusqu’au point où l’expérience même ne peut nous suivre"(Kant, Critique de la Raison Pure, AK III, 39). Qu'y ajoutent-ils au juste ? Eh bien que de deux choses l'une : ou bien le concept du phénomène possible envisagé ne correspond à aucun phénomène réel, ce que seule une expérience pourra affirmer ; ou bien ce concept hypothétique correspond expérimentalement à un phénomène réel, et alors l'hypothèse scientifique est promue au rang de loi théorique nécessaire. 

Voilà bien ce que la structure mathématisée importe dans les hypothèses scientifiques : a priori, les mathématiques nous disent, à l'inverse de ce que pensent les rationalistes, qu'il peut en être ainsi ; a posteriori, elles nous disent, à rebours des empiristes, qu'il doit en être ainsi. C'est en ce sens que, pour Kant, les connaissances mathématiques sont, non seulement a priori, mais encore synthétiques (cf. comment des Jugements Synthétiques a priori sont-ils Possibles ?) puisqu'elles ajoutent quelque chose à notre connaissance qui n'y serait pas autrement contenu
"les jugements mathématiques sont tous synthétiques, mais leur application à l’expé­rience se fait entièrement a prio­ri [car ils] ajoutent à ce qui est donné aux sens quelque chose qui n’y était pas contenu [...]. Par suite, la mathématique comporte une nécessité absolue tout en étant appli­cable dans toute sa précision aux objets de l’expérience sensible"(Kant, Critique de la Raison Pure, AK III, 39-184) .

La réponse à notre question initiale est donc, du point de vue de Kant, que les mathématiques s'appliquent à l'étude des phénomènes sensibles comme le possible s'applique au réel : le possible est la forme, l'esquisse, l'ébauche du réel. À première vue, il semblerait que Wittgenstein soit absolument d'accord avec Kant. Voici, par exemple, ce qu'il dit de la géométrie : "la géométrie n’est pas la connaissance des surfaces géométriques par opposition à une science physique qui traite­rait des surfaces physiques [...] mais le rapport de la géométrie à la physique est celui de la possibilité à la réalité "(Wittgen­stein, Grammaire Philosophique, I, 17). Et, mutatis mutandis, l'arithmétique n'est pas non plus la connaissance des nombres, mais son rapport à la physique est également celui de la possibilité à la réalité. Bref, pour Wittgenstein comme pour Kant, "les mathématiques construisent des concepts et les concepts servent à la compréhension : ils correspondent à un traitement déterminé des états de choses du monde. [...] Celui qui sait une proposition mathématique ne doit encore rien savoir, car la proposition mathématique ne peut fournir qu’une armature pour une description"(Wittgenstein, Remarques sur le Fondement des Mathématiques). L'un comme l'autre s'opposent donc à la conception, que l'on peut appeler "réaliste" ou "objectiviste", de ceux qui, comme Platon, considèrent que les mathématiques sont, non seulement une science à part entière (quelle que soit, par ailleurs, l'acception que l'on donne à ce terme) qui porte sur des objets spécifiques (les nombres, les figures, etc.), mais encore LA science par excellence dans la mesure où elle porte sur des objets sublimes accessibles seulement à quelques happy few. Pour l'un comme pour l'autre, il n'existe pas de connaissance pure (absolument a priori), mais toute connaissance, notamment scientifique, est la synthèse d'une forme pure (mathématisée dans les sciences) et d'une matière empirique (le contenu de la représentation sensible) : "la forme d'une représentation est la possibilité que les choses soient entre elles dans le même rapport que les éléments de l'image [...]. L'image figure une situation possible dans l'espace logique [...]. Les possibilités de vérité des propo­sitions élémentaires sont les conditions de vérité ou de fausseté des propositions"(Wittgenstein, Tractatus, 2.151). En termes kantiens, on pourrait dire que, pour l'un comme pour l'autre, toute connaissance est "synthétique a priori" : tout notre savoir, y compris dans les domaines les plus abstraits de la physique théorique, est, in fine, un savoir expérimental, mais en tant que ce savoir est, a priori, conditionné à des degrés divers par des structures formelles dont les mathématiques sont l'expression la plus pure.

Pour Kant comme pour Wittgenstein, donc, le secret de l'applicabilité des mathématiques sur le sensible réside dans le fait qu'elles ont affaire, non pas à des choses en soi éternelles et immuables dont les phénomènes sensibles seraient une copie plus ou moins fidèle, mais plutôt à des lois et à des exigences humaines. Oui mais quelles lois, quelles exigences ? Car, après tout, il n'en va pas autrement pour les empiristes qui considèrent, à l'instar de Hume, que toutes nos idées, y compris (et peut-être même, surtout) les idées mathématiques, sont des copies affaiblies de nos impressions, de sorte que les lois humaines dont dérivent les mathématiques sont les lois de la psychologie et les exigences humaines dont elles procèdent sont les exigences de la survie et de l'adaptation. Quine, qui n'a rien du sceptique humien, mais qui se veut néanmoins empiricist without dogmas, ne dit pas autre chose : "du point de vue de leur statut théorique, les objets physiques n’ont avec les dieux qu’une différence de degré et non pas de nature. L’une et l’autre sorte d’entités ne trouvent leur place dans notre croyance que pour autant qu’elles sont culturellement postulées. [...] En outre, nous postulons aussi les entités abstraites qui forment la substance des mathématiques […] et qui ont théoriquement le même statut de mythe que les objets physiques et les dieux, la seule différence étant le degré avec lequel ils facilitent nos interactions avec les expériences sensorielles"(Quine, d’un Point de vue Logique, ii, 6). Pour Kant, en revanche, les mathématiques, en tant qu'activité a priori, ne peuvent évidemment pas dériver des lois empiriques de la psychologie et de l'adaptation. Tout au contraire, elles sont l'expression des exigences de ce qu'il appelle "logique transcendantale" dans le sens où il "appelle transcendantale toute connaissance qui s'occupe en général non pas tant d'objets que de notre mode de connaissance des objets en tant que celui-ci doit être possible a priori [...] ; la raison pure contient les principes permettant de connaître quelque chose absolument a priori"(Kant, Cri­tique de la Raison Pure, III, 43). Bref, pour Kant, les mathématiques procèdent clairement des lois éternelles et, partant, immuables, de l'entendement (faculté de connaître) et de la raison (faculté des principes a priori).

Mais si, chez Kant, "la mathématique donne le plus éclatant exemple d’une Raison pure qui s’étend d’elle-même avec succès, sans le se­cours de l’expérience"(Kant, Critique de la Raison Pure, III, 468), en revanche, chez Wittgenstein, "les mathématiques sont un phénomène anthropologique"(Wittgenstein, Remarques sur le Fondement des Mathéma­tiques). Un phénomène anthropologique et non pas transcendantal. Autrement dit, pour celui-ci, ce ne sont pas les pouvoirs de l'humaine Raison dont l'Aufklärung chante la marche inexorable qui s'expriment dans l'applicabilité des mathématiques à l'expérience, mais plus modestement, ce qu'il appelle "notre histoire naturelle", autrement dit la coutume, qui se manifeste. Wittgenstein, tout comme Kant, a une conception constructiviste des mathématiques. Comme le dira Bachelard, "dans la connaissance scientifique rien ne va de soi, rien n’est donné, tout est construit"(Bachelard, la Formation de l’Esprit Scientifique, Intro, ii), de sorte que "l’arithmétique, pas plus que la géométrie n’est la promotion naturelle d’une raison immuable"(Bachelard, Philosophie du Non, vi). Plus précisément
"il n'y a pas de concept platonicien de l'inférence ou de la démonstration qui soit transcendant par rapport à toute espèce de jugement de reconnaissance et d'acceptation, et qui puisse justifier à l'avance et une fois pour toutes le genre d'adhésion inconditionnelle que nous sommes susceptibles d'accorder spontanément"(Bouveresse, le Pays des Possibles, iii). 

De même que, pour Kant, "la connaissance rationnelle par la construction des concepts, c’est la mathématique"(Kant, Premiers Principes Métaphysiques de la Science de la Nature, IV, 470), de même, pour Wittgenstein, "le mathématicien ne découvre pas, il invente"(Wittgenstein, Remarques sur les Fondements des Mathématiques, I, §168). Le constructivisme mathématique de Kant et celui de Wittgenstein permettent, au passage, de donner une réponse à la formulation einsteinienne du problème de Galilée : 
"une énigme a de tout temps fortement troublé les chercheurs : comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir des choses réelles ? "(Einstein, la Géométrie et l’Expérience).

Justement, pour Kant, comme pour Wittgenstein, le mathématicien, pas plus que le physicien, ne "découvrent" une sorte de continent inexploré dans lequel les lois mathématiques ou scientifiques seraient, en quelque sorte, toujours déjà là quoique enfouies dans un endroit secret, que ce soit dans un topos noètos platonicien, ou dans une mystérieuse induction humienne. Il ne s'agit pas de "découvrir des choses réelles", mais plutôt d'en construire des concepts et des lois susceptibles de les décrire. Seulement, le constructivisme de Wittgenstein, contrairement à celui de Kant, est un conventionalisme. Ce qui veut dire que les règles de construction des concepts mathématiques qui vont, a priori, conditionner la formulation rigoureuse des hypothèses scientifiques, ne découlent pas de lois supérieures (transcendantales) qui seraient dictées par la raison humaine. Elles sont elles-mêmes ces lois. Il n'y a pas, chez Wittgenstein, de "logique transcendantale" qui joue le rôle de "premier moteur" ou de premier générateur de toute production logique et, partant, mathématique : "la logique est transcendantale"(Wittgenstein, Tractatus, 6.13), la logique, c'est-à-dire toute logique, tout système de construction de règles : "les lois logiques sont certes l'expression d'habitude de pensée, mais elles sont aussi l'expression de l'habitude de penser. C'est-à-dire qu'elles montrent comment pensent les hommes et aussi ce que les hommes appellent "penser". [...] Les propositions de la logique sont "les lois de la pensée" parce qu'elles expriment l'essence de la pensée humaine, mais plus exactement parce qu'elles expriment ou montrent l'essence, la technique de la pensée"(Wittgenstein, Remarques sur les Fondements des Mathématiques, I, §§131-133). La logique et les mathématiques ne découlent pas des lois supérieures de la pensée humaine. Elles sont les lois supérieures de la pensée humaine.

Ceci introduit une différence tout à fait fondamentale entre les deux auteurs : pour Kant, c'est parce que les règles mathématiques de constructions de concepts sont nécessaires, d'une nécessité transcendantale, que nous prenons la décision de les appliquer, notamment dans notre entreprise de description des phénomènes naturels, tandis que, pour Wittgenstein, c'est au contraire parce que nous décidons de les appliquer sans exception et sans concession qu'elles sont nécessaires : "la certitude ne s’apparente pas à une conclusion mais à une forme de vie. [...] Toute notre certitude s’apparente à une décision"(Wittgenstein, de la Certitude, §§358-362). La nécessité objective, ainsi que la certitude subjective qui en est le corrélat, ne sont pas, nous dit Wittgenstein, inhérentes au penser mais à l'agir. La décision dont il s'agit n'est pas le préalable à l'action, mais l'action elle-même en tant que nous en sommes les auteurs et qu'elle exclut le doute. Certes, Wittgenstein n'a de cesse de nous mettre en garde contre le danger d'une conception causale de la nature des règles qui nous contraindraient physiquement à la manière dont les rails contraignent le train à épouser leur tracé : toute règle, toute loi, en tant justement qu'elle procède d'une décision qui reflète notre forme de vie, a besoin d'un acte d'interprétation (ein Deuten) pour s'appliquer. Aucune loi ne s'applique spontanément : c'est le juge qui condamne le prévenu, pas la loi. Or, justement, fait remarquer Wittgenstein, 
"quelque chose n’est pas un axiome du fait que nous le reconnaissons comme hautement probable, mais du fait que nous lui attribuons une fonction déterminée qui s’oppose à celle des propositions empiriques [...]. Le statut privilégié que possèdent les mathématiques à nos yeux leur vient du rôle particulier joué par leurs propo­sitions dans nos jeux de langage [...]. Nous apprenons les mathématiques en nous exerçant à une impitoyable précision [...]. On inculque non seulement le calcul aux enfants, mais aussi une attitude bien particulière à l’endroit des erreurs de calcul [...]. Nous verrions la contradiction d’une toute autre manière si nous considérions son apparition et ses conséquences en quelque sorte de façon anthropologique, plutôt que de la regarder avec l’exagération propre aux mathématiques [...]. L’unanimité des hommes dans le calcul n’est pas une unanimité de pensée ou de conviction, mais une unanimité d’ac­tion"(Wittgenstein, Remarques sur les Fondements des Mathématiques). 

Le propre des règles mathématiques de construction de concepts, c'est donc, précisément, l'intolérance tout à fait particulière dont nous faisons preuve à l'égard de ce que nous considérons comme des interprétations erronées et donc le rôle tout à fait marginal et minimal qu'y joue l'acte d'interprétation. Si une règle en général n'est qu'un thème musical susceptible d'un certain nombre de variations quant à l'interprétation, la règle logico-mathématique, en revanche, ne souffre pas la moindre fausse note ! Voilà où réside sa spécificité.

Ainsi, nous dit Wittgenstein, "une droite est une loi et n'est constituée de rien du tout"(Remarques Philosophiques) : une droite est une technique qui nous contraint de considérer, par exemple, la distance la plus courte qui puisse exister entre deux entités quelconques identifiées sur cette droite et appelés "points". Mais il est faux de croire qu'une droite est constituée de points. Cela voudrait dire, soit, dans la version platonicienne, qu'il existe des objets géométriques idéaux (les points) qui ne sont pas des objets sensibles (ils n'ont pas de dimensions) mais seulement intelligibles, soit, dans la version humienne, que nous avons l'image mentale de quelque chose de très petit (le point) que nous nous sommes forgée au cours d'un processus psychologique d'abstraction progressive à partir de notre expérience sensible, soit même, dans la version kantienne, que la droite est la synthèse imaginative d'entités (les points) qui, bien que n'étant pas intuitionnées directement par notre sensibilité, font partie des qualités formelles fondamentales de l'espace. Dans tous les cas, la géométrie serait redevable à l'égard d'une réalité extérieure à elle-même, qu'elle soit intelligible, qu'elle soit psychologique ou qu'elle soit transcendantale. Or, souligne Wittgenstein, c'est en traçant la droite au moyen d'une technique rigoureuse (e.g. une règle, un papier bien lisse et un crayon bien taillé) que nous faisons exister quelque chose comme "la droite", "le segment", "le point", etc. Il en va de même pour le nombre : 
"l'idée de "racine carrée de 2" est celle-ci : nous cherchons un nombre rationnel qui, multiplié par lui-même, donne 2. Il n'y en a pas. Mais il y en a qui se rapprochent de 2 de cette manière et il y en a toujours qui se rapprochent davantage de 2. Il y a un processus qui me permet d'approcher 2 sans aucune limite"(Wittgenstein, Remarques sur les Fondements des Mathématiques). 

C'est en procédant de cette façon que nous donnons une existence à la racine de deux comme technique rigoureuse et non pas comme objet qui préexisterait, soit dans un ciel des Idées, soit dans notre univers mental, soit dans notre faculté de connaître. Ce qui importe, pour Wittgenstein, c'est que les soi-disant entités mathématiques, qu'elles soient matérielles ou formelles, ne sont, en réalité, que des règles de logique ou de grammaire particulières (bien particulières, cependant), et que 
"la grammaire n'a a rendre de comptes à aucune réalité. Les règles grammaticales déterminent la signification, qui ne l'est pas déjà (elles la constituent) et ne sont, par le fait, responsables envers aucune signification préalable et, dans cette mesure, arbitraires. Il ne peut y avoir aucune discussion sur la question de savoir si ces règles-ci ou d'autres sont les "bonnes""(Wittgenstein, Remarques sur les Fondements des Mathématiques).

Oui mais, si comme Wittgenstein le reconnaît lui-même, les lois mathématiques, comme toutes les règles, n'ont aucun compte à rendre à la réalité, s'il ne peut y avoir aucune discussion pour savoir si telle ou telle série de règles est la bonne, notre problème semble se trouver ramené à son point de départ : comment expliquer l'accord de ce corps arbitraire de techniques mathématiques avec la réalité décrite par l'activité scientifique ? Ou bien va-t-on devoir dire que ce sont les règles qui "créent" la réalité en question, ce qui serait le comble de l'idéalisme ? Wittgenstein ne nie pas que les règles en général, et les règles mathématiques en particulier, soient en corrélation avec des faits empiriques. Il nie simplement que ces faits soient les causes de ces règles, que les règles soient imposée par les faits. Les faits ne peuvent faire mieux, nous dit Wittgenstein, que nous fournir une bonne raison d'adopter telle ou telle règle. "La différence entre cause et raison peut être expliquée de la façon suivante : la recherche d’une raison entraîne comme partie essentielle l’accord de l’intéressé avec elle, alors que la recherche d’une cause est menée expérimentalement"(Wittgenstein, Cours de Cambridge1932-1935). En effet, on ne voit pas très bien comment on pourrait expérimenter la relation de cause à effet qui existerait entre un fait expérimental (e.g. la courbure de l'espace-temps dans la théorie einsteinienne de la relativité) et une règle mathématique de construction de concept qui a, précisément, pour fonction, de rendre cette expérimentation possible (e.g. la géométrie riemannienne). On est là au cœur de l'une des préoccupations constantes de la philosophie de Wittgenstein : ce qui rend possible la description d'un phénomène ne peut pas être soi-même décrit mais ne peut que se montrer, se manifester, s'exprimer par et dans la description. Bref, les mathématiques ne dérivent pas des faits qu'elles ont pour fonction de décrire, mais leur accord avec ces faits se constate néanmoins et, bien entendu, entre plusieurs systèmes concurrents des description, nous choisirons celui qui nous semble le plus satisfaisant : 
"Riemann eut la pensée audacieuse suivante : la manière dont les corps se comportent en présence de réalités physiques pouvait être conditionnée par l'intermédiaire de forces. Il parvint ainsi, par la pure spéculation mathématique, à la pensée de l'[indissociabilité] de la géométrie et de la physique, dont l'idée, soixante dix ans plus tard, devint réalité avec la théorie de la relativité générale, par laquelle la géométrie et la théorie de la gravitation se fondent en une seule [entité]"(Einstein, Géométrie non-euclidienne et Physique). 

Pour énoncer sa théorie de la relativité générale, Einstein a le choix entre trois géométries concurrentes : celle d'Euclide, celle de Lobatchevski et celle de Riemann. Il se trouve que c'est cette dernière qui est la plus satisfaisante, pour les raisons qu'il invoque et, surtout, pour l'utilisation qu'il entend en faire. Ce qui n'invalide évidemment pas les deux autres systèmes géométriques. Dire, comme le fait Wittgenstein, que les mathématiques ne dérivent pas causalement de quelque sorte de fait que ce soit, ce n'est pas dire qu'elles ne cherchent pas l'accord avec les faits qu'elles cherchent à décrire, encore moins qu'elles "créent" ces faits, mais que l'accord avec les faits n'est ni métaphysique (Platon), ni psychologique (Hume), ni transcendantal (Kant), mais tout bonnement pragmatique : 
"le conventionalisme [de Wittgenstein] admet, bien entendu, que le choix des conventions est soumis à la pression et à la juridiction de certains faits, en ce sens qu'elles doivent être pratiques, utilisables, etc., mais c'est, selon lui, le seul genre de "conformité avec les faits" qui puisse être exigé dans leur cas, à la différence de ce qui se passe pour les propositions qui décrivent réellement des faits susceptibles de les réfuter"(Bouveresse, la Force de la Règle, x). 

Le conventionalisme de Wittgenstein n'est donc pas un idéalisme mais bel et bien un réalisme : il ne s'agit pas d'"ignorer" les faits, mais tout au contraire de contribuer à les décrire de manière satisfaisante pour nous. Et ce réalisme est pragmatique, comme chez Quine : "chaque homme reçoit un héritage scienti­fique, plus un bombardement continuel de stimulations sensorielles, et les considérations qui le déterminent à ajuster son héritage scientifique à ses stimulations sensorielles continuelles sont pragmatiques autant que théoriques »(Quine, d’un Point de vue Logique, ii, 6). Toutefois, pour Wittgenstein, ces "considérations pragmatiques" (c'est-à-dire culturelles, sociales, historiques, voire psychologiques) dont fait état Quine sont des raisons, de bonnes raisons d'adopter telle ou telle convention, et non pas des causes, c'est-à-dire des déterminations mécaniques dont le processus pourrait faire l'objet d'une expérimentation séparée. Tandis que Quine n'établit entre les causes et les raisons qu'une différence de degré et non, comme Wittgenstein, une différence de nature.

En effet, en disant que le possible mathématique n'est ni une forme éthérée de réalité (comme chez Platon), ni une empreinte de la réalité sur notre psychisme (comme chez Hume), ni une condition transcendantale de connaissance du réel (comme chez Kant), mais un ensemble de règles qui conditionnent a priori notre façon de décrire rigoureusement (scientifiquement) le réel, il s'agit, pour Wittgenstein, de maintenir, contre Quine, le strict dualisme syntaxique qui traverse toute sa philosophie entre, d'une part les propositions empiriques qui prétendent décrire (dire quelque chose de) la réalité, et, d'autre part, les normes conceptuelles de description sur fond de quoi on peut juger de la vérité ou de la fausseté de ces propositions empiriques descriptives, lesquelles sont, ipso facto, indiscutables : 
"la proposition mathématique a été obtenue par une série d’actions qui ne se différencient d’aucune façon du reste des actions de la vie et qui sont tout aussi sujettes à l’oubli, l’inadvertance et l’illusion. [Plutôt], le tampon de l’incontestabili­té est en quelque sorte officiellement apposé sur la proposition mathématique. C’est comme si on disait : « Disputez d’autre chose, quant à ceci, c’est intangible, c’est un point fixe sur lequel votre dispute peut tourner. » […] Cette proposition, je ne peux pas la mettre en doute sans renoncer à tout jugement. [Elle fait partie] de cette image du monde que je possède, non pas parce que je suis convaincu de sa rectitude, mais plutôt parce qu’elle constitue l’arrière-plan dont j’ai hérité et sur le fond duquel je peux distinguer le vrai du faux"(Wittgenstein, de la Certitude). 

Il est entendu que la proposition mathématique a exactement la même origine empirique que n'importe quelle proposition. Cependant, elle n'a pas du tout la même fonction dans nos jeux de langage. En tant que formulation d'une règle, la proposition "2 + 2 = 4" a été incorporée dans notre langage dans les mêmes circonstances que "il y a quatre personnes dans cette salle". Mais, d'abord, celle-là est incontestable (a priori) quand celle-ci est contestable (vraie ou fausse) selon qu'elle décrit ou ne décrit pas correctement la réalité empirique. Ensuite, l'une des manières de décrire la réalité peut consister à dire : "il y avait deux personnes tout à l'heure, deux autres sont entrées, aucune n'est sortie, il doit donc s'en trouver quatre à présent". Auquel cas, la formulation mathématique explicite sert d'arrière plan nécessaire pour évaluer notre proposition empirique : 
"ce que l'on peut découvrir [empiriquement] dans le cas de "2 + 2 = 4" est, par exemple, que si l'on prend deux objets et encore deux objets, et que l'on compte le total obtenu, le résultat observé est régulièrement ou normalement 4 objets. Ce que l'on ne peut, en revanche, découvrir, est que l'on doit obtenir 4 objets. C'est à cet endroit qu'intervient un élément de décision (et donc d'invention) irréductible"(Bouveresse, la Force de la Règle, viii). 

La proposition mathématique a beau être empirique du point de vue de son apprentissage, elle n'est pas empirique du tout du point de vue de sa fonction. Là-dessus, l'accord avec Kant est total. Car la proposition mathématique ne dit pas "il va en être ainsi" (ce qui, après tout, peut toujours se révéler empiriquement faux), elle dit : "il doit en être ainsi". Et, en cas de désaccord entre ce qui "doit" se passer et ce qui se passe réellement, les règles mathématiques seront, comme insiste Quine, les derniers énoncés que l'on songera à réviser : s'il n'y a pas quatre personnes dans la salle comme prévu par le calcul, on essaiera de trouver des explications empiriques, on recomptera, on alléguera une hallucination, mais on ne dira pas : "voilà bien la preuve que 2 + 2 4" ! Pour autant, comme on l'a vu avec l'exemple des géométries non-euclidiennes, cela n'implique pas que les règles mathématiques soient éternelles, mais, plus modestement qu'elles sont intemporelles ou, plus exactement encore, a-temporelles. Dire que "2 + 2 = 4" est une convention n'est pas dire "hic et nunc les hommes pensent que 2 + 2 = 4", ce qui effacerait la frontière entre proposition mathématique et proposition empirique, mais plutôt "2 + 2 doit être égal à 4 et ce, même si on vient juste de le découvrir". Dès lors, le "doit" mathématique n'est ni éternel comme chez Platon, ni catégorial comme chez Kant. Mais il n'est pas non plus empiriquement inconcevable, comme chez Hume. Il est conventionnel, c'est-à-dire pleinement immanent à nos formes de vie, tout en étant nécessaire, c'est-à-dire non-empirique quant à sa fonction.

Galilée est donc pleinement fondé à remarquer que l'Univers est écrit dans la langue des mathématiques. Il conviendrait juste d'ajouter que c'est nous, nous les hommes, qui rédigeons l'ouvrage. Pas Dieu. Car c'est nous, nous les hommes, qui, par science interposée, sommes les législateurs de l'Univers, comme le disait Kant. Et si tel est le cas, c'est peut-être parce que nous, nous les hommes, "nous en savons autant que Dieu sait en mathématiques"(Wittgenstein, Leçons sur les Fondements des Mathématiques).