LES PROPOSITIONS MATHEMATIQUES SONT-ELLES VRAIES ?

B2 – Les propositions mathématiques sont-elles vraies ?

Dire qu’une proposition est vraie ou fausse, à proprement parler, cela veut dire seulement qu’il faut qu’il y ait possibilité de décider en sa faveur ou contre elle. [Or, par exemple], je ne peux pas me tromper au sujet de la proposition "12.12=144". Mais on ne peut pas opposer la certitude des mathématiques au manque de certitude des propositions empiriques. En effet, la proposition mathématique a été obtenue par une série d’actions qui ne se dif­férencient d’aucune façon du reste des actions de la vie et qui sont tout aussi sujettes à l’oubli, l’inadvertance et l’illusion. [Plutôt], le tampon de l’incontestabilité est en quelque sorte officiellement apposé sur la proposition ma­thématique. C’est comme si on disait : "Disputez d’autre chose, quant à ceci, c’est intangible, c’est un point fixe sur lequel votre dispute peut tourner." […] Cette proposition, je ne peux pas la mettre en doute sans renoncer à tout jugement. [Elle fait partie] de cette image du monde que je possède, non pas parce que je suis convaincu de sa rectitude, mais plutôt parce qu’elle constitue l’arrière-plan dont j’ai hérité et sur le fond duquel je peux distinguer le vrai du faux. Les propositions qui décrivent cette image du monde [...], leur rôle est semblable à celui des règles d’un jeu. [Aussi, si je me trompe], ce ne sera pas une erreur qui a pour ainsi dire sa place dans le jeu, mais une infraction complète aux règles, ce qui ne peut apparaître qu’exceptionnellement.

Wittgenstein – de la Certitude

1 - A quelle idée l'auteur s'oppose-t-il et quelle idée défend-il ?

L'auteur s'oppose à l'idée que les propositions mathématiques puissent être tenues pour vraies. Il défend l'idée que les propositions mathématiques ne peuvent être dites ni vraies ni fausses mais incontestables.

2 - Quelle condition doivent remplir les propositions qui prétendent être vraies-ou-fausses (donner un exemple). Comment Wittgenstein les appelle-t-il ? Que doit-on en déduire pour les propositions au sujet desquelles "je ne peux pas me tromper" ?

Pour qu'une proposition puisse être tenue pour vraie-ou-fausse, nous dit Wittgenstein, "il faut qu’il y ait possibilité de décider en sa faveur ou contre elle". Autrement dit, une proposition de cette sorte doit pouvoir se prêter non seulement à une vérification, mais aussi à une décision. P1 "il fait beau aujourd'hui" appartient à cette catégorie parce que, si j'entends quelqu'un la prononcer, d'une part j'ai la possibilité de la vérifier, d'autre part, après vérification, j'ai la possibilité de la valider ou de la contester pour tout un tas de raisons (le moment où je vérifie, l'endroit d'où je vérifie, mon humeur, mon expérience, ma connaissance de la météo, etc.). Dire que P1 est vraie, c'est donc admettre qu'elle pourrait aussi être fausse. Dire qu'elle est fausse, c'est admettre qu'elle pourrait être vraie. Wittgenstein appelle "empiriques" (du grec empeïria, "expérience sensible") ce genre de propositions. En revanche P2 "12 fois 12 font 144" n'est pas une proposition empirique susceptible d'être vraie-ou-fausse parce que, à supposer qu'il soit besoin de la vérifier, lorsque c'est fait (par exemple, à l'aide d'une calculatrice), je n'ai aucune décision à prendre : elle est correcte ou incorrecte, et c'est tout. Il y a des gens pour qui un ciel nuageux est un ciel de beau temps, d'autres pour qui le même ciel est signe de mauvais temps, mais on ne saurait imaginer quelqu'un qui trouve correct de dire "12 fois 12 égalent 145". Une proposition comme P2 est donc une proposition au sujet de laquelle "je ne peux pas me tromper", sous-entendu, au sujet de laquelle il n'y a aucune décision à prendre. En conséquence, ce genre de proposition ne saurait être vraie-ou-fausse.

3 - Il y a deux sens au verbe "pouvoir". Lesquels ? Donner des exemples. A la lumière des 3° et 4° phrase, en quel sens doit-on comprendre ici "je ne peux pas" ?

Soit P3 : "je ne peux pas dépasser les 50 km/h avec mon véhicule". Cela peut vouloir dire que je n'ai pas la capacité d'aller plus vite (parce que mon véhicule est très endommagé, par exemple). Mais cela peut vouloir dire aussi que je n'ai pas le droit d'aller plus vite (c'est le cas si je traverse une agglomération, par exemple). Le verbe "pouvoir" indique donc, soit la capacité, soit la permission. Alors, quel est le sens de ce verbe dans la phrase "je ne peux pas me tromper au sujet de la proposition "12.12=144"" ? Tout le monde fait, de temps en temps, des erreurs de calcul. C'est pourquoi un enfant d'âge scolaire, par exemple, aura raison de demander qu'on lui prouve P2 tout autant que P1. Les deux propositions sont susceptibles d'être vérifiées, comme on l'a dit précédemment. Donc, comme le dit Wittgenstein, "on ne peut pas opposer la certitude des mathématiques au manque de certitude des propositions empiriques" : P2 n'est pas plus certaine que P1. Donc, dire que "je ne peux pas me tromper au sujet de la proposition "12.12=144"", ce n'est pas dire que je n'ai pas la capacité de me tromper au motif que la proposition aurait je ne sais quoi de "magique" qui nous empêche de nous tromper, mais plutôt que je n'en ai pas le droit.

4 - Que signifie "le tampon de l’incontestabilité est en quelque sorte officiellement apposé sur la proposition ma­thématique" ? Sur quoi, ordinairement appose-t-on un tampon, par qui est-il apposé et à quoi cela sert-il ?

La différence principale entre P1 et P2, c'est, nous dit l'auteur, que "le tampon de l’incontestabilité est en quelque sorte officiellement apposé sur la proposition ma­thématique". Qu'est-ce que ça veut dire ? D'ordinaire, un tampon est apposé par une personne autorisée à le faire, sur un document qui a été authentifié par cette même personne, afin que la validité de ce document ne puisse plus être contestée par quiconque. Lorsque le tampon est mis, personne n'a plus le droit de contester la validité du document. "C’est comme si on disait : "Disputez d’autre chose, quant à ceci, c’est intangible, c’est un point fixe sur lequel votre dispute peut tourner"" : on a le droit de dire tout ce qu'on veut à propos de ce document, mais sa valeur reste incontestable. Il en va de même pour la proposition mathématique : une fois authentifiée (par un professeur de mathématiques, un mathématicien, un logiciel, etc.), elle est réputée incontestable.

5 - Que se passerait-il si on mettait en doute la validité des propositions mathématiques ? N'y aurait-il que les connaissances scientifiques qui deviendraient impossibles ? Pourquoi ? Donner des exemples ?

Si on se mettait à contester la validité des propositions mathématiques, nous dit Wittgenstein, il faudrait "renoncer à tout jugement". Pourquoi ? Eh bien, précisément parce que de telles propositions nous servent à juger. Pourquoi mesure-t-on, évalue-t-on, pèse-t-on, etc. si ce n'est pour nous aider à prendre une décision quant à la valeur des choses. On dira, par exemple, au-delà de telle moyenne, le candidat aura la mention "très bien", ou bien au-dessus de tel prix, je n'achète pas le produit. Etc. Du coup, il n'y a pas que les connaissances scientifiques qui seraient impossibles si on contestait la validité des propositions mathématiques. C'est toute connaissance. On ne pourrait plus juger de rien. On ne pourrait plus rien connaître du tout.

6 - En fait, peut-on (examiner les deux sens du verbe, cf. question 2) mettre en doute les propositions mathématiques ? Pourquoi ?

Voilà donc pourquoi on n'a pas le droit de contester la validité des propositions mathématiques. C'est que celles-ci font "[partie] de cette image du monde que je possède, non pas parce que je suis convaincu de sa rectitude, mais plutôt parce qu’elle constitue l’arrière-plan dont j’ai hérité et sur le fond duquel je peux distinguer le vrai du faux". Ce qui veut dire qu'il y a, entre P1 (la proposition empirique) et P2 (la proposition mathématique) une véritable différence de statut : c'est grâce à des propositions comme P2 que je peux juger de vérité ou de la fausseté de propositions comme P1. Par exemple, si je refusais de reconnaître la validité d'une moyenne mensuelle de précipitations, si je refusais de reconnaître la validité d'une comparaison chiffrée, il n'y aurait aucun sens à dire que tel mois a été pluvieux dans tel département. Pluvieux par rapport à quoi, à quelles normes ? Or, pour répondre à de telles questions, il faut s'aider de propositions mathématiques. Cependant, il reste que "la proposition mathématique a été obtenue par une série d’actions qui ne se dif­férencient d’aucune façon du reste des actions de la vie et qui sont tout aussi sujettes à l’oubli, l’inadvertance et l’illusion" : celui qui fait un calcul, même s'il est très doué, a toujours la capacité d'oublier, d'être fatigué, d'être troublé, etc. Donc, on a toujours la capacité de se tromper et, par conséquent, de soupçonner une erreur de calcul ou de raisonnement dans une proposition mathématique.

7 - Quelle différence Wittgenstein fait-il entre erreur et infraction (donner des exemples dans des jeux quelconques, puis dans les "jeux" dont parle l'auteur dans le texte A3) ? Lorsqu'on se trompe, en mathématiques, commet-on une erreur ou une infraction ?

Pour reprendre un exemple que nous avons pris à propos du texte A3, au football, toucher involontairement la balle de la main est une erreur, mais la prendre volontairement dans la main est une infraction. La différence est que l'erreur est prévue et codifiée par le règlement : elle est, par exemple, sanctionnée par un coup-franc. Tandis que l'infraction ne l'est pas. Cela n'aurait aucun sens de se demander ce qui pourrait se passer, dans le jeu de football, si un joueur décidait de courir avec la balle sous le bras comme on fait au rugby, car "ce ne sera pas une erreur qui a pour ainsi dire sa place dans le jeu, mais une infraction complète aux règles". Faire une erreur est reconnu et admis par toutes les règles de tous le jeux. Mais enfreindre, c'est toujours enfreindre les règles, donc violer les règles, passer outre. "Ce qui ne peut apparaître qu’exceptionnellement" : lorsque l'infraction est commise, le jeu s'arrête (pensez à l'automobiliste "arrêté" par les forces de l'ordre lorsqu'il commet une infraction au Code de la Route), de sorte que si l'infraction est trop fréquente, le jeu n'a plus lieu d'être. Il en va de même pour les propositions mathématiques, car, nous dit l'auteur, "leur rôle est semblable à celui des règles d’un jeu". Que quelqu'un trouve, par erreur, 145 en calculant le produit de 12 par 12, c'est parfaitement admissible. En revanche, s'il tient pour incontestable la proposition "12 fois 12 font 145", c'est une infraction complète aux règles mathématiques. Si cela reste exceptionnel, cela n'est pas trop grave. Mais si une telle attitude se généralise, il n'y a plus de mathématiques et, donc, de jugement possible. On remarquera que c'est exactement la position des pyrrhoniens ou sceptiques dont nous avons parlé à propos du texte A2.

8 - Comment appelle-t-on le procédé argumentatif par lequel l'auteur met en relation la certitude mathématique avec un tampon, puis l'activité mathématique avec les règles d'un jeu ? Quelle est sa fonction ?

On appelle cela une analogie. Wittgenstein, comme beaucoup de philosophes, aime bien les raisonnements par analogie. Cela consiste à dire : A est à B ce que C est à D. Par exemple, ici : l'incontestabilité est aux mathématiques ce que le tampon est au document officiel. Ou bien : les propositions mathématiques sont à nos jugements empiriques ce que les règles du jeu sont au football. Ou encore (cf. A3), dire qu'une affirmation est irrationnelle (ou déraisonnable) en science, c'est dire que les règles n'ont pas été respectées dans un jeu quelconque. C'est un mode de raisonnement extrêmement utile puisqu'il nous permet d'apprendre ce qu'est A lorsqu'on connaît déjà B, C et D.